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PEC 7

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Índice

• PEC 7
  • 20. Recursividad
    • 20.1. Ejemplo: números naturales
    • 20.2. Ejemplo: factorial
    • 20.3. Ejemplo: Tratamiento secuencial
      • 20.3.1. Funciones auxiliares
      • 20.3.2. Punteros

20. Recursividad

La recursividad es una técnica en programación donde una función se llama a sí misma para resolver problemas más pequeños de la misma naturaleza. Este enfoque es útil para problemas que pueden descomponerse en subproblemas más pequeños y similares. Sin embargo, es crucial manejar la recursividad con cuidado para evitar bucles infinitos o desbordamientos de pila.

20.1. Ejemplo: números naturales

Los número naturales tienen su definición revursiva en matemáticas:

• 0 ∈ N
• Si n ∈ N, entonces n+1 ∈ N

El conjunto de números naturales es el mínimo conjunto que cumple estas dos propiedades.

En este caso vemos que para definir qué es un número natural, lo hacemos recursivamente, o sea, a partir de saber que n es recursivo, sabemos que n + 1 también lo es. Con lo cual, lo podemos ver en el siguiente algoritmo:

function isNatural(n: integer): boolean
  var
    result: boolean
  end var

  if n = 0 then
    result := true
  else
    result := isNatural(n - 1)
  end if

  return result

end function

#include <stdbool.h>

bool isNatural(int n) {
  if (n == 0) {
    result = true;
  } else {
    result = isNatural(n - 1);
  }
  return result;
}

En este código vemos un ejemplo de los dos elementos que todo algoritmo recursivo debe tener:

• Condición de finalización (en este caso cuando n es 0)
• Regla recursiva (una llamada recursiva con n-1)

En la siguiente figura se puede ver la simulación de lo que pasaría en la memoria cuando se llama isNatural(2).

step 1 - Veremos que cuando se llama isNatural con el valor 2, este queda guardado en una zona de memoria.

| ... | 32 | 33 | 34 | 35  | ... | 65 | 66 | 67 | 68 | ... | 215 | 216 | 217 | 218 | ... |
|-----|----|----|----|-----|-----|----|----|----|----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| ... |         2          | ... |    |    |    |    | ... |     |     |     |     | ... |
| ... |         n          | ... |    |    |    |    | ... |     |     |     |     | ... |

step 2 - Siguiendo con el algoritmo, ya que n no es 0, se hace otra llamada a isNatural con el valor 1. Esta nueva llamada se añade a la pila y queda guardada en otra zona de memoria diferente. Como n todavía no es 0, se vuelve a hacer una llamada a isNatural con el valor 0 y esta nueva llamada también queda añadida a la pila utilizando otra zona de memoria.

| ... | 32 | 33 | 34 | 35  | ... | 65 | 66 | 67 | 68 | ... | 215 | 216 | 217 | 218 | ... |
|-----|----|----|----|-----|-----|----|----|----|----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| ... |         2          | ... |         1         | ... |     |     |     |     | ... |
| ... |         n          | ... |         n         | ... |     |     |     |     | ... |

step 3 - En este caso, como el parámetro tiene valor 0, se devolverá un true y se finalizará esta llamada.

| ... | 32 | 33 | 34 | 35  | ... | 65 | 66 | 67 | 68 | ... | 215 | 216 | 217 | 218 | ... |
|-----|----|----|----|-----|-----|----|----|----|----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| ... |         2          | ... |         1         | ... |           0           | ... |
| ... |         n          | ... |         n         | ... |           n           | ... |

step 4 - Cuando se finaliza la ejecución de una acción o función, toda la memoria ocupada por sus parámetros y variables se elimina y, por lo tanto, ahora solo quedarán las dos llamadas iniciales a la memoria.

| ... | 32 | 33 | 34 | 35  | ... | 65 | 66 | 67 | 68 | ... | 215 | 216 | 217 | 218 | ... |
|-----|----|----|----|-----|-----|----|----|----|----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| ... |         2          | ... |         1         | ... |     |     |     |     | ... |
| ... |         n          | ... |         n         | ... |     |     |     |     | ... |

step 5 - La segunda llamada devolverá el valor true que ha devuelto la última llamada y, por tanto, finalizará y quedará solo la primera llamada a la memoria. Finalmente esta llamada inicial retornará y también se eliminará de la memoria.

| ... | 32 | 33 | 34 | 35  | ... | 65 | 66 | 67 | 68 | ... | 215 | 216 | 217 | 218 | ... |
|-----|----|----|----|-----|-----|----|----|----|----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
| ... |         2          | ... |    |    |    |    | ... |     |     |     |     | ... |
| ... |         n          | ... |    |    |    |    | ... |     |     |     |     | ... |

Lo importante es ver que, aunque sea la misma función, a efectos prácticos es como si se tratara de funciones diferentes y, por tanto, los parámetros y variables que tenga son independientes entre llamadas.

20.2. Ejemplo: factorial

El factorial de un número n se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 hasta n. Se denota n! y se define de la siguiente manera:

• n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n

Una posible función factorial con estructuras iterativas podría ser:

function fact(n: integer): integer
  var
    i: integer
    f: integer
  end var

  f := 1

  for i := 1 to n do
    f := f * i
  end for

  return f;

end function

unsigned es un modificador de tipo que indica que la variable no puede almacenar valores negativos. Esto es diferente de los tipos signed, que permiten tanto valores positivos como negativos.

unsigned int fact(int n){
  unsigned int i = 0;
  unsigned int f = 1;

  for (i = 1; i <= n; i++){
    f *= i;
  }

  return f;
  
}

Si lo pensamos de forma recursiva, podemos ver que factorial(n) es lo mismo que n x factorial(n-1). De esta manera podemos sustituir una función con iteraciones por una función recursiva que vuelve a si misma hasta que se cumple una condición de parada.

Por lo tanto:

function fact(n:integer): integer
  var
    result: integer;
  end var

  if n == 1 then
    result := 1;
  else
    result:= n * fact(n - 1);
  end if

  return result;

end function

unsigned int fact(unsigned int n){
  int result;

  if (n == 1){
    result = 1;
  } else {
    result = n * fact(n - 1);
  }

  return result;

}

A continuación se muestra un esquema de lo que pasaría en la pila de programas (program stack) si hiciéramos una llamada a este método para n = 3 dentro del programa principal main. De izquierda a derecha se muestra la evolución temporal, que corresponde a los siguientes pasos:

1. En la pila solo está el main.
2. Cuando desde el main se llama fact(3), en la pila se hace un push de la información referente a la función fact. En este caso, el parámetro n tiene un valor de 3, que es lo que se le ha indicado en la llamada.
3. Como n no tiene un valor igual a 1 se devuelve el resultado de la expresión n * fact(n-1)*. Como el valor de n es 3, es necesario evaluar la expresión 3 * fact(2), y por tanto, se hace una llamada a la función fact pasando como parámetro el 2.
4. Al hacer la llamada a fact(2), en la pila se hace un push de la información referente a la función fact, donde, en este caso, el parámetro n tiene un valor de 2.
5. Como n no tiene un valor igual a 1 se devuelve el resultado de la expresión n * fact(n-1). Como el valor de n es 2, hay que evaluar la expresión 2 * fact(1), y por tanto, hay que hacer una llamada a la función fact pasando como parámetro el 1.
6. Como ahora n tiene un valor igual a 1, entra en el if y devuelve el valor 1. En el retorno se hace un pop de la pila, que elimina toda la información de la última función que se había añadido.
7. Dado que ahora ya tenemos el valor de fact(1), se puede evaluar la expresión 2 * fact(1), y se devuelve el valor 2. Cuando hacemos el retorno, se hace un pop de la pila, eliminando toda la información de la última función que se había añadido.
8. Dado que ahora ya tenemos el valor de fact(2), se puede evaluar la expresión 3 * fact(3) y se devuelve el valor 6. En el retorno, se hace un pop de la pila, que elimina toda la información de la última función que se había añadido, y solo deja en la pila la información de la función main, que se eliminará cuando esta finalice.

20.3. Ejemplo: Tratamiento secuencial

En general, la mayoría de los algoritmos que tratan secuencias son susceptibles de ser formulados de forma recursiva. Vamos a ver un ejemplo simple: mostrar todos los elementos de un vector de enteros. Suponed que tenemos un vector de valores enteros, finalizado por un valor -1 que marca el final de la secuencia. Si lo planteáramos como un algoritmo iterativo, tendríamos:

action writeVector(in v: vector of integer)
  var
    i: integer
  end var

  i := 1

  while v[i] ≠ -1 do
    writeInteger(v[i]);
    i := i + 1;
  end while
end action

void writeVector(int *v){
  int i = 0;

  while (v[i] != -1){
    printf("%d\n", v[i]);
    i++;
  }
}

Un planteamiento recursivo sería mostar el primer elemento de la secuencia y luego volver a llamar el método recursivo para mostrar el resto de los elementos. Vamos procesando cada elemento de la secuencia (en este caso simplemente mostrar) hasta llegar al elemento que nos marca el final de la secuencia. Para convertirlo en recursivo, hay que buscar la repetición de un patrón, por ejemplo, imaginemos que tenemos el siguiente vector:

{1, 2, 3, 4, -1}

La llamada

writeVector({1, 2, 3, 4, -1})

es equivalente a

writeInteger({2, 3, 4, -1});

Por lo tanto, vemos que podemos dividir el problema en otro más simple (es una parte del problema inicial). Además tenemos un caso trivial, que es writeInteger({-1}) en el que no hay que hacer nada, ya que tenemos un vector sin ningún elemento para mostrar. Por lo tanto, podemos definir una versión recursiva de la función writeVector.

Vamos a ver dos versiones para implementar este algoritmo, una con el uso de funciones auxiliares y otra con punteros.

20.3.1. Funciones auxiliares

En algunos casos, el planteamiento recursivo requiere introducir información adicional para poder controlar la recursividad. Para añadir esta informacióin será necesario creqar una nueva función o acción con parámetros adicionales. En este caso, vamos a crear una nueva acción writeVector_aux que, además del vector, tendrá la primera posición a procesar. La acción writeVector asignará los valores iniciales para el proceso recursivo:

action writeVector_aux(inout v: vector of integer, in i: integer)
  if v[i] ≠ -1 then
    writeInteger(v[i]);
    writeVector_aux(v, i + 1);
  end if
end action

action writeVector(inout v: vector of integer)
  writeVector_aux(v, 1);
end action

void writeVector_aux(int *v, int i){
  if (v[i] != -1){
    printf("%d\n", v[i]);
    writeVector_aux(v, i + 1);
  }
}

void writeVector(int *v){
  writeVector_aux(v, 0);
}

20.3.2. Punteros

Otra posibilidad para implementar este algoritmo es el uso de punteros. En el caso concreto de C, podemos aprovechar el hecho de que un vector realmente es un puntero a la primera posición del vector y, por lo tanto, no necesitamos ningún método auxiliar.

void writeVector(int *v){
  if (*v != -1){
    printf("%d\n", *v);
    writeVector(v + 1);
  }
}

En este caso, lo que hacemos es mostrar el contenido del puntero (que es lo mismo que v[0])) y desplazar el puntero una posición antes de volver a hacer la llamada recursiva.

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